BAB II SKRIPSIKU “PERBANDINGAN HASIL BELAJAR MATEMATIKA YANG DIAJAR MELALUI MODEL KOOPERATIF TIPE NHT DAN TIPE JIGSAW

BAB II

KAJIAN PUSTAKA, KERANGKA PIKIR, DAN HIPOTESIS

  1. A.  Kajian Pustaka
  2. 1.    Hakikat Matematika

Untuk mendefinisikan matematika sangatlah sulit, definisi matematika makin lama makin sukar untuk dibuat secara tepat dan singkat. Cabang-cabang matematika makin lama makin bertambah satu sama lainnya. Sampai sekarang ini, para ahli matematika belum ada kesepakatan yang bulat untuk membuat definisi tentang matematika. Namun demikian para ahli berusaha memberikan gambaran tentang hakikat matematika.

Kline (Abdurrahman, 2009: 252) mengemukakan bahwa matematika merupakan bahasa simbolis dan ciri utamanya adalah penggunaan cara bernalar deduktif, tetapi juga tidak melupakan cara bernalar induktif.

Lerner (Abdurrahman, 2009: 252) mengemukakan bahwa matematika disamping sebagai bahasa simbolis juga merupakan bahasa universal yang memungkinkan manusia memikirkan, mencatat, dan mengkomunikasikan ide mengenai elemen dan kuantitas.

Selanjutnya Paling (Abdurrahman, 2009: 252) mengemukakan bahwa matematika adalah suatu cara untuk menemukan jawaban terhadap masalah yang dihadapi manusia, suatu cara menggunakan informasi, menggunakan pengetahuan tentang bentuk dan ukuran, menggunakan pengetahuan tentang menghitung, dan yang paling penting adalah memikirkan dalam diri manusia itu sendiri dalam melihat dan menggunakan hubungan-hubungan.

Dari berbagai pendapat tentang hakikat matematika yang telah dikemukakan menunjukkan bahwa secara kontemporer pandangan tentang hakikat matematika lebih ditekankan pada metodenya daripada pokok persoalan tentang matematika itu sendiri.

  1. 2.    Pengertian Belajar Matematika

Belajar merupakan suatu proses yang ditandai dengan adanya perubahan pada diri individu yang belajar. Oxford Advanced Learner’s dictionary (Suyono dan Haryanto, 2011: 12) mendefinisikan belajar sebagai kegiatan memperoleh pengetahuan atau keterampilan melalui studi, pengalaman, atau karena diajar.

Adapun Divesta dan Thompson (Suyono dan Haryanto, 2011: 12-13) menyatakan bahwa belajar adalah perubahan tingkah laku yang relatif menetap sebagai hasil dari pengalaman.

Selain itu, Slameto (2010: 2) dalam bukunya, mengatakan bahwa belajar adalah suatu proses usaha yang dilakukan seseorang untuk memperoleh suatu perubahan tingkah laku yang baru secara keseluruhan, sebagai hasil pengalamannya sendiri dalam interaksi dengan lingkungannya.

Berdasarkan beberapa definisi di atas, dapat disimpulkan bahwa belajar adalah suatu proses perubahan tingkah laku yang dilakukan secara sadar dan relatif tetap dan terjadi sebagai hasil dari pengalaman atau latihan-latihan, yang dapat meningkatkan kemampuan seseorang dalam memecahkan masalah dalam hidupnya.

Berkaitan dengan pelajaran matematika, Dienes (Junaidi, 2011) mengemukakan bahwa belajar matematika melibatkan suatu struktur hirarki dari konsep-konsep tingkat lebih tinggi yang dibentuk atas dasar apa yang telah terbentuk sebelumnya.  Belajar matematika pada konsep yang lebih tinggi tidak mungkin bila prasyarat yang mendahului konsep-konsep itu belum dipelajari.

Dengan demikian, untuk dapat menguasai materi pelajaran matematika pada tingkat kesukaran yang lebih tinggi diperlukan penguasaan materi tertentu sebagai pengetahuan prasyarat.  Penguasaan yang tinggi akan dapat dimiliki siswa dalam mempelajari matematika bila guru tidak hanya menuntut siswanya untuk menghafal rumus saja, tetapi lebih penting adalah memberikan pemahaman yang penuh terhadap konsep-konsep yang disampaikan. Selain itu, belajar matematika akan lebih berhasil bila mengarah pada pengembangan berfikir, pengembangan konsep atau ide-ide terdahulu yang dipersiapkan untuk mempelajari dan menguasai konsep baru.

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa belajar matematika adalah proses dalam diri siswa yang hasilnya berupa perubahan pengetahuan, sikap, keterampilan untuk menerapkan konsep-konsep, struktur, dan pola dalam matematika sehingga menjadikan siswa berfikir logis, kreatif, dan sistematis dalam kehidupan sehari-hari.

  1. 3.    Hasil Belajar Matematika

Abdurrahman (2009: 37) dalam bukunya, mengatakan bahwa hasil belajar adalah kemampuan yang diperoleh anak setelah melalui kegiatan belajar.

Menurut Benjamin S. Bloom (Abdurrahman, 2009: 38) ada tiga ranah (domain) hasil belajar, yaitu kognitif, afektif, dan psikomotorik.

Kemudian menurut A. J. Romiszowski (Abdurrahman, 2009: 38) hasil belajar dapat dikelompokkan ke dalam dua macam saja, yaitu pengetahuan dan keterampilan.

Pengetahuan terdiri dari empat kategori, yaitu:

  1. Pengetahuan tentang fakta;
  2. Pengetahuan tentang prosedural;
  3. Pengetahuan tentang konsep;
  4. Pengetahuan tentang prinsip.

Keterampilan juga terdiri dari empat kategori, yaitu:

  1. Keterampilan untuk berpikir atau keterampilan kognitif;
  2. Keterampilan untuk bertindak atau keterampilan motorik;
  3. Keterampilan bereaksi atau bersikap;
  4. Keterampilan berinteraksi.

Adapun menurut Gagne dalam Suprijono (Tonra, 2012: 9) hasil belajar berupa:

  1. Informasi verbal yaitu kapabilitas mengungkapkan pengetahuan dalam bentuk bahasa, baik lisan maupun tertulis.
  2. Keterampilan intelektual yaitu kemampuan mempresentasikan konsep dan lambang.
  3. Strategi kognitif yaitu kecakapan menyalurkan dan mengarahkan aktivitas kognitif sendiri.
  4. Keterampilan motorik yaitu kemampuan melakukan serangkaian gerak jasmani dalam urusan dan koordinasi, sehingga terwujud otomatisme gerakan jasmani.
  5. Sikap adalah kemampuan menerima atau menolak objek berdasarkan penilaian terhadap objek tersebut.

Berdasarkan uraian di atas, dan jika dikaitkan dengan belajar matematika, maka dapat disimpulkan bahwa hasil belajar matematika adalah tingkat keberhasilan siswa dalam hal penguasaan pelajaran matematika setelah mengikuti proses pembelajaran dan dilihat dengan skor hasil belajar matematika siswa setelah melalui pemberian tes sebagai alat ukur hasil belajar matematika.

  1. 4.    Model Pembelajaran Kooperatif

a)    Pengertian Pembelajaran Kooperatif

Artz dan Newman (Huda, 2011: 32) mendefinisikan pembelajaran kooperatif sebagai siswa yang bekerja sama dalam satu tim untuk mengatasi suatu masalah, menyelesaikan sebuah tugas, atau mencapai tujuan bersama.

Adapun menurut Eggan dan Kauchak (Trianto, 2011: 42) pembelajaran kooperatif merupakan sebuah kelompok strategi pengajaran yang melibatkan siswa bekerja secara berkolaborasi untuk mencapai tujuan bersama.

Di dalam kelas kooperatif siswa belajar bersama dalam kelompok-kelompok kecil yang terdiri dari 4-6 orang siswa yang sederajat tetapi heterogen kemampuan, jenis kelamin, suku/ras, dan satu sama lain saling membantu.

Pembelajaran kooperatif disusun dalam sebuah usaha untuk meningkatkan partisipasi siswa, memfasilitasi siswa dengan pengalaman sikap kepemimpinan dan membuat keputusan dalam kelompok serta memberikan kesempatan pada siswa untuk berinteraksi dan belajar bersama-sama siswa yang berbeda latar belakangnya. Dengan bekerja secara kolaboratif untuk mencapai sebuah tujuan bersama, maka siswa akan mengembangkan keterampilan berhubungan dengan sesama manusia.

Pembelajaran kooperatif melatih siswa menemukan dan memahami konsep-konsep yang dianggap sulit dengan cara bertukar pikiran (berdiskusi) dengan teman-temannya. Diskusi merupakan salah satu metode yang dapat mengaktifkan siswa dan memungkinkan siswa menguasai konsep atau memecahkan suatu masalah melalui suatu proses yang memberi kesempatan berfikir, berinteraksi sosial, serta berlatih bersikap positif.

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa model pembelajaran kooperatif adalah model pembelajaran dengan membentuk kelompok-kelompok yang heterogen, bekerja secara kolaboratif, berdiskusi satu sama lainnya untuk mencapai tujuan bersama.

b)   Ciri-Ciri Pembelajaran Kooperatif

Menurut Arends (Trianto, 2011: 47) ciri-ciri pembelajaran kooperatif adalah:

1)   Siswa bekerja dalam kelompok secara kooperatif untuk menuntaskan materi belajar;

2)   Kelompok dibentuk dari siswa yang mempunyai kemampuan tinggi, sedang, dan rendah;

3)   Bila memungkinkan, anggota kelompok berasal dari ras, budaya, suku, jenis kelamin yang beragam;

4)   Penghargaan lebih berorientasi kepada kelompok daripada individu.

c)    Langkah-Langkah Model Pembelajaran Kooperatif

Menurut Trianto (2011: 48) dalam bukunya, terdapat enam langkah utama atau tahapan dalam pembelajaran kooperatif. Langkah-langkah itu ditunjukkan pada tabel berikut ini:

 

Tabel 2.1. Langkah-langkah Pembelajaran Kooperatif

Fase Tingkah Laku Guru
Fase – 1Menyampaikan tujuan dan memotivasi siswa Guru menyampaikan semua tujuan pelajaran yang ingin dicapai pada pelajaran tersebut dan memotivasi siswa belajar. 
Fase – 2Menyajikan informasi Guru menyajikan informasi dengan jalan demonstrasi atau lewat bahan bacaan. 
Fase – 3Mengorganisasikan siswa ke dalam kelompok kooperatif Guru menjelaskan kepada siswa cara membentuk kelompok belajar dan membantu setiap kelompok belajar agar melakukan transisi secara efisien.
Fase – 4Membimbing kelompok bekerja dan belajar Guru membimbing kelompok-kelompok belajar pada saat mereka mengerjakan tugas mereka.
Fase – 5Evaluasi Guru mengevaluasi hasil belajar tentang materi yang telah dipelajari atau masing-masing kelompok mempresentasikan hasil kerjanya.
Fase – 6Memberikan penghargaan Guru mencari cara-cara untuk menghargai baik upaya maupun hasil belajar individu dan kelompok. 

(Sumber: Trianto, 2011: 48)

  1. 5.    Pembelajaran Kooperatif  TipeNumbered Heads Together

Numbered Heads Together atau penomoran berpikir bersama merupakan jenis pembelajaran kooperatif yang dirancang untuk mempengaruhi pola interaksi siswa dan sebagai alternatif terhadap struktur kelas tradisional.

Numbered Heads Together pertama kali dikembangkan oleh Spencer Kagen (1993) untuk melibatkan lebih banyak siswa dalam menelaah materi yang tercakup dalam suatu materi pelajaran dan mengecek pemahaman mereka terhadap isi pelajaran tersebut.

Adapun langkah-langkah model kooperatif tipe Numbered Heads Together (NHT),yaitu:

a)   Penomoran

Dalam fase ini guru membagi siswa ke dalam kelompok 3-5 orang dan kepada setiap anggota kelompok diberi nomor antara 1 sampai 5.

b)   Mengajukan Pertanyaan

Guru mengajukan sebuah pertanyaan kepada siswa. Pertanyaan dapat bervariasi. Pertanyaan dapat amat spesifik dan dalam bentuk kalimat tanya.

c)    Berpikir Bersama

Siswa menyatukan pendapatnya terhadap jawaban pertanyaan itu dan meyakinkan tiap anggota dalam timnya mengetahui jawaban tim.

d)   Menjawab

Guru memanggil suatu nomor tertentu, kemudian siswa yang nomornya sesuai mengacungkan tangannya dan mencoba menjawab pertanyaan untuk seluruh kelas.

Tabel 2.2. Kelebihan dan Kekurangan Model Kooperatif Tipe NHT

No. Kelebihan Kekurangan
1. Setiap siswa menjadi siap semua; Kemungkinan nomor yang dipanggil, dipanggil lagi oleh guru;
2. Dapat melakukan diskusi dengan sungguh-sungguh; Tidak semua anggota kelompok dipanggil oleh guru.
3. Siswa yang pandai dapat mengajari siswa yang kurang pandai;
4. Tidak ada siswa yang mendominasi dalam kelompok. 

Sumber: Febiyanto (2011)

  1. 6.    Model Pembelajaran Kooperatif  Tipe Jigsaw

Jigsaw telah dikembangkan dan diujicoba oleh Elliot Aronson dan teman-teman di Universitas Texas, dan diadopsi oleh Slavin dan teman-teman di Universitas John Hopkins (Trianto, 2011: 56).

Kooperatif tipe Jigsaw ini didesain untuk meningkatkan rasa tanggung jawab siswa terhadap pembelajarannya sendiri dan juga pembelajaran orang lain. Siswa tidak hanya mempelajari materi yang diberikan, tetapi mereka juga harus siap memberikan dan mengajarkan materi tersebut pada kelompoknya. Dengan demikian siswa saling tergantung satu dengan yang lain dan harus bekerjasama secara kooperatif untuk mempelajari materi yang ditugaskan (Ratumanan, 2004:142).

Pada model pembelajaran kooperatif tipe Jigsaw, terdapat kelompok asal (kelompok induk) dan kelompok ahli. Kelompok asal yaitu kelompok induk siswa yang beranggotakan siswa dengan kemampuan, asal, dan latar belakang keluarga yang beragam. Kelompok asal merupakan gabungan dari beberapa ahli. Kelompok ahli yaitu kelompok siswa yang terdiri dari anggota kelompok asal yang berbeda yang ditugaskan untuk mempelajari dan mendalami topik tertentu dan menyelesaikan tugas-tugas yang berhubungan dengan topiknya untuk kemudian dijelaskan kepada anggota kelompok asal.

Hubungan antara kelompok asal dan kelompok ahli digambarkan sebagai berikut:

Kelompok Asal

Kelompok Ahli

Gambar 2.2 Ilustrasi Kelompok JigsawSumber: Arends (Nilamurni, 2012: 26)

Adapun langkah-langkah model pembelajaran kooperatif tipe Jigsaw menurut Trianto (2011: 56) dalama bukunya, yaitu:

  1. Siswa dibagi atas beberapa kelompok (tiap kelompok anggotanya 5-6 orang).
  2. Materi pelajaran diberikan kepada siswa dalam bentuk teks yang telah dibagi-bagi menjadi beberapa sub bab.
  3. Setiap anggota kelompok membaca sub bab yang ditugaskan dan bertanggung jawab untuk mempelajarinya.
  4. Anggota dari kelompok lain (kelompok asal) yang telah mempelajari sub bab yang sama bertemu dalam kelompok-kelompok ahli (expert group) untuk mendiskusikannya.
  5. Setiap anggota kelompok ahli setelah kembali ke kelompoknya bertugas mengajar teman-temannya.
  6. Pada pertemuan dan diskusi kelompok asal, siswa-siswa dikenai tagihan berupa kuis individu.

Tabel 2.3. Kelebihan dan Kekurangan Model Kooperatif Tipe Jigsaw

No. Kelebihan Kekurangan
1. Dapat memberikan kesempatan kepada siswa untuk bekerjasama dengan siswa lain; Membutuhkan waktu yang lama; 
2. Siswa dapat menguasai pelajaran yang disampaikan; Siswa cenderung tidak mau apabila disatukan dengan temannya yang kurang pandai apabila ia sendiri yang pandai dan yang kurang pandai juga merasa minder apabila digabungkan dengan temannya yang pandai walaupun lama kelamaan perasaan itu akan hilang dengan sendirinya.
3. Setiap anggota siswa berhak menjadi ahli dalam kelompoknya;
4. Dalam proses belajar mengajar siswa saling ketergantungan positif;
5. Setiap siswa dapat saling mengisi satu sama lain.

Sumber: Ilham (2012)

  1. 7.    Materi Ajar (Aritmetika Sosial)

a)    Menghitung Nilai Keseluruhan, Nilai Per Unit, dan Jumlah (banyaknya Unit)

Seorang pemilik toko menjual satu kotak karet penghapus dengan harga Rp.8.400,-Ternyata, dalam satu kotak terdapat 12 buah karet penghapus. Seseorang membeli sebuah karet penghapus dan pemilik toko menjualnya dengan harga Rp.700,-. Dalam hal ini, harga satu kotak karet penghapus Rp.8.400,- disebut nilai keseluruhan, sedangkan harga satu buah karet penghapus Rp700,00 disebut nilai per unit. Maka dapat disimpulkan sebagai berikut:

Nilai per-unit adalah harga satuan dari suatu produk

Nilai sebagian adalah harga antara nilai satuan dengan nilai keseluruhan

Nilai Keseluruhan adalah harga semua produk

b)   Harga pembelian, harga penjualan, Untung, dan Rugi

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering melihat peristiwa jual-beli suatu barang. Pada kegiatan jual beli tersebut terdapat harga pembelian, harga penjualan, untung atau rugi. Untuk memahaminya, perhatikan permasalahan berikut:

Suherman membeli sepeda motor dengan harga Rp.7.500.000,- Sebulan kemudian sepeda motor tersebut dijual dengan harga Rp.8.300.000,-. Dalam hal ini, Suherman mengalami untung Rp.800.000,-. Jika Suherman hanya mampu menjual dengan harga Rp.7.300.000,- dikatakan Suherman mengalami rugi Rp.200.000,-. Dari uraian tersebut, dapat disimpulkan:

Laba = harga penjualan – harga pembelian

Harga beli adalah harga barang dari pabrik, grosir, atau tempat lainnya. Harga beli sering disebut modal. Dalam situasi tertentu, modal adalah harga beli ditambah dengan ongkos atau biaya lainnya. Sedangkan Harga jual adalah harga barang yang ditetapkan oleh pedagang kepada pembeli. Untung atau labaadalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian jika harga penjualan lebih dari harga pembelian.

Rugi = harga pembelian – harga penjualan

Rugiadalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian jika harga penjualan kurang dari harga pembelian.

  1. Persentase untung dan rugi

Untuk memahami materi ini siswa diharapkan memperhatikan uraian sebelumnya. Dari uraian  terdahulu, diketahui jika laba atau untung adalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian, sedangkan rugi adalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian jika harga penjualan kurang dari harga pembelian. Dengan demikian persentase laba dan rugi dirumuskan sebagai berikut.

Dari rumus di atas diperoleh hubungan sebagai berikut:

  1. Jika mendapat untung, maka

Harga beli =

  1. Jika menderita rugi, maka

Harga beli =

c)    Diskon dan Rabat

Diskon adalah potongan harga suatu barang. Adapun rabat adalah potongan harga yang diberikan jika membeli barang-barang dalam jumlah banyak, misalnya Ibu Ana membeli satu lusin buku tulis.

d)   Bruto, Tara, dan Neto

Istilah bruto, tara, dan neto sering digunakan pada permasalahan berat barang. Untuk memahaminya, perhatikan dalam kehidupan sehari-hari saat membeli makanan kecil atau saat ibu membeli gula pasir. Berat barang yang kalian beli merupakan berat kotor, artinya berat makanan kecil ditambah berat kemasannya. Berat kemasan barang seperti plastik, karung, kertas disebut tara. Berat barang beserta kemasannya disebut berat kotor atau bruto, sedangkan berat barangnya saja disebut berat bersih atau neto. Dengan demikian dapat disimpulkan sebagai berikut.

Jika diketahui persen tara dan bruto, maka tara dapat dicari dengan rumus berikut.

Untuk menentukan harga bersih setelah memperoleh potongan berat (tara) dapat dirumuskan sebagai berikut:

Contoh:

Sebuah karung beras ditimbang, ternyata beratnya 50,25 kg, artinya berat karung + berat beras = 50,25 kg.

Jika berat karung 0,25 kg maka berat beras saja (neto)

= 50,25 kg – 0,25 kg

= 50 kg.

Secara matematis dapat dikatakan:

Berat kotor (bruto) = 50,25 kg,

Berat bungkus (tara) = 0,25 kg,

Berat bersih (neto) = 50,00 kg.

  1. B.  Kerangka Pikir

Mengingat peranan matematika sangat penting, tentunya memberikan konsekuensi pada peningkatan kualitas mata pelajaran matematika di sekolah-sekolah. Hasil belajar siswa tidak hanya dipengaruhi oleh penguasaan materi tetapi juga dipengaruhi oleh metode pengajaran yang tepat. Dalam mengajarkan matematika guru harus terampil memilih model pembelajaran yang tepat sesuai dengan pokok bahasan yang diajarkan.

Dengan demikian, pemilihan model pembelajaran matematika yang cocok untuk topik tertentu, akan membantu proses belajar mengajar matematika berjalan efektif dan efisien serta memberikan pengaruh positif bagi hasil belajar matematika siswa.

Model pembelajaran kooperatif tipe Numbered Heads Together (NHT) merupakan jenis pembelajaran kooperatif yang dirancang untuk mempengaruhi pola interaksi siswa. Model ini menjelaskan bahwa siswa dibentuk dalam beberapa kelompok yang heterogen terdiri dari 3-5 orang, yang kemudian masing-masing anggota dalam kelompok diberikan nomor. Model ini menjelaskan bahwa siswa dibentuk dalam beberapa kelompok yang heterogen terdiri dari 3 sampai 5 orang, yang kemudian masing-masing anggota dalam kelompok diberikan nomor. Dalam mengerjakan soal kelompok, setiap siswa berpikir bersama untuk mengetahui dan mengerti jawaban soal yang dikerjakan secara berkelompok, karena semua nomor dalam kelompok memiliki kesempatan yang sama untuk maju ke depan kelas mempresentasikan hasil kerja kelompoknya. Sedangkan model pembelajaran kooperatif tipe Jigsaw didesain untuk meningkatkan rasa tanggung jawab siswa terhadap pembelajarannya sendiri dan juga pembelajaran orang lain. Dalam penerapan model ini, siswa dibagi menjadi beberapa kelompok dengan 5-6 anggota yang heterogen. Kemudian guru memberikan bahan ajar dalam bentuk teks kepada setiap kelompok dan setiap siswa dalam satu kelompok bertanggung jawab untuk mempelajari satu bagian materi. Setelah itu, masing-masing siswa dari kelompok yang berbeda dengan topik yang sama bertemu untuk diskusi (antar ahli), saling membantu satu dengan yang lainnya untuk mempelajari topik yang ditugaskan. Dan pada akhirnya, setiap siswa kembali ke kelompok asal untuk memberikan dan mengajarkan pada teman sekelompoknya apa yang telah mereka bahas pada kelompok ahli.

  1. C.  Hipotesis

Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah yang dikemukakan sebelumnya maka hipotesis penelitian ini dirumuskan sebagai berikut:

“Ada perbedaan peningkatan hasil belajar matematika siswa yang diajar melalui model kooperatif tipe Numbered Heads Together dan tipe Jigsaw pada siswa kelas VII MTsN 2 Makassar”.

Secara statistika, hipotesis ini dirumuskan sebagai berikut:

Ho ; μ1 = μ2   versus  H1 ; μ1 ≠ μ2

Keterangan:

μ1: Parameter rata-rata peningkatan hasil belajar matematika siswa yang diajar melalui model kooperatif tipe Numbered Heads Together.
μ2: Parameter rata-rata peningkatan hasil belajar matematika siswa yang diajar melalui model kooperatif tipe Jigsaw.

 

 

 

 

 

By sukahitung Posted in Rumus

.: Kombinasi Matematika :.

Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika

1) Permutasi 
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga 
Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau .
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi

dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri 🙂
Contoh permutasi siklis : 

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

2) Kombinasi 
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan , 

Contoh :
Diketahui himpunan  .
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).


Cara cepat mengerjakan soal kombinasi

dengan penulisan nCk, hitung 10C4

kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri 🙂

Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya
20C5=20C15
3C2=3C1
100C97=100C3
melihat polanya? hehe semoga bermanfaat! 

Peluang Matematika

1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian 
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian 
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus : 

Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan 
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.

4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian 
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga : 

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian 
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

Peluang Kejadian Majemuk

1. Gabungan Dua Kejadian 
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku : 

Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan  dibaca “Kejadian A dan B”

Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :

2. Kejadian-kejadian Saling Lepas 
Untuk setiap kejadian berlaku  Jika  . Sehingga Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.

3. Kejadian Bersyarat 
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika  adalah peluang terjadinya A dan B, maka  Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.

4. Teorema Bayes 
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini : 

5. Kejadian saling bebas Stokhastik 
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:

Sebaran Peluang

1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang. 
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap dan setiap  maka:

Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :

2. Sebaran Binom 
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :


Dengan P sebagai parameter dan 
Rumus ini dinyatakan sebagai:
 untuk n = 0, 1, 2, …. ,n
Dengan P sebagai parameter dan 

P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagal

sumber : http://www.rumus.web.id/2011/04/peluang-permutasi-kombinasi-matematika.html